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文藝復興早期的歐洲數學-數學史話

時間:2018-05-21 10:35來源:知行網www.ayratv.icu 編輯:麥田守望者

1494 年,意大利數學家盧卡·帕西奧利寫了一部題為《算術大全》的書。在這部著作中,帕西奧利討論了當代的標準數學,并重點討論了一次方程和二次方程的解法。有趣的是,他在方程中用字母co代表未知量,無意中創造了原始的符號代數。co是意大利語cosa(意為"事物")一詞的縮寫--即求解的事物。雖然100多年以后,代數才有了我們今天這樣的符號系統,但《算術大全》卻朝著符號代數方向邁出了一步。

數學史話之文藝復興早期的歐洲數學

盧卡·帕西奧利

接下來就是當時數學的一個重頭戲了:一般形式的一元三次方程(ax^3+bx^2+cx+d=0)的求解問題。故事是從博洛尼亞大學的希皮奧內·德爾·費羅開始的。天才的費羅發現了一個解 "缺項三次方程"的公式。所謂缺項三次方程,就是一個沒有二次項的三次方程,其表現形式為ax^3+cx+d=0。通常,我們習慣于用a去除方程的各項,并將常數項移到方程右邊,這樣,我們就可以將這一缺項三次方程轉變為其標準形式x^3+mx=n,雖然費羅只掌握了這種特殊形式的三次方程,但他對代數的推進卻意義深遠。

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費羅

另一位天才數學家塔塔利亞則發現了解出x^3+mx^2=n 形式的三次方程的方法,并且通過這個方法擊敗了費羅的學生安東尼奧·費奧爾。但是塔塔利亞卻上了另外一個人的當,那人就是卡爾達諾。卡爾達諾也是一名意大利的數學家,同時他還是一名醫生。他一生共寫了各類文章、書籍200多種,現存材料就有約7000頁。

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塔塔利亞

卡爾達諾在塔塔利亞戰勝費奧爾之后,就不斷寫信給塔塔利亞,請求他將解三次方程的方法告訴自己。塔塔利亞一開始當然是拒絕的,但是禁不住卡爾達諾的反復追求(請求),終于在1539年把方法用密碼的方式告訴了卡爾達諾,并且讓他發誓不告訴別人。但是到了1545年,卡爾達諾出版了他的數學名著《大術》,在書中首次公布了三、四次代數方程的一般解法(其中三次代數方程的解法思想就是來自于塔塔利亞,而四次代數方程的解法思想則是由卡爾達諾的學生費拉里發現的),確認了高于一次的代數方程多于一個根,已知方程的一個根可將方程降階,指出方程的根與系數間的某些關系,利用反復實施代換的方法求得方程的近似解。在解方程中使用了虛數等。其中關于一般二次代數方程的求根公式今稱"卡爾達諾公式"。

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卡爾達諾求三次方程公式

塔塔利亞被激怒了,他與卡爾達諾開始論戰,然而很明顯卡爾達諾的學生費拉里并不買塔塔利亞的帳。經過反復的書信交火之后,塔塔利亞上門挑戰,然而還是讓費拉里打敗了,逃了回去。

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卡爾達諾

現代讀者在閱讀《大術》第十一章時,會有兩點感到意外。其一是卡爾達諾并沒有給出解一般三次方程的證明,只列舉了一種特殊形式的缺項三次方程,即x^3+6x=20(鑒于卡爾達諾的公式求解過程太長了,科普君就不在這里贅述了,有興趣的讀者可以自行去查閱)。其二是卡爾達諾的論證是一種純幾何式的,涉及真正的立方體及其體積。關于這個問題,其實只要我們想一想當時代數符號的原始狀態和文藝復興時期數學家對古希臘幾何的看重,疑團便會煙消云散。

在《大術》中,卡爾達諾還提到了一個著名的問題:五次方程的代數解。這個問題要過將近300年才得到解決,我們以后會談到。

卡爾達諾一生著作頗豐,包括:《算術實踐與個體測量》(1539)在計算方法與代數變換中顯示出較高的技巧;《論擲骰游戲》(1563)給出一些概率論的基本概念和定理,得到所謂"冪定理"等結果;他的另外兩部著作《事物之精妙》(1550)與《世間萬物》(1553)包含了大量力學、機械學、天文學、化學、生物學等自然科學與技術的知識,還有密碼術、煉金術,以及占星術等內容。此外,他還是最早認識自然界水循環理論的學者之一。

歐洲數學在經過了中世紀的黑暗統治之后,終于在文藝復興時期開始了自己的復興之路。

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